Производственная функция: понятие, пример построения

Один из важных методов анализа и исследования экономической системы является применение математических моделей. Они позволяют прогнозировать различные сценарии развития экономики, предугадывать кризисы и рассчитывать риски. Использование математических моделей в экономике помогает расставлять приоритеты в правовой и социальной политике.


Понятие производственной функции и её свойства

Простейшим описанием процесса производства можно считать производственную функцию, описывающую зависимость объема производства (или дохода) от сочетания таких производственных факторов как труд (интеллектуальный и физический и капитал в материальном выражении

Часто процессы производства продукции в реально функционирующих в течение определенного времени хозяйственных системах являются непосредственным объектом моделирования с использованием производственных функций (ПФ). В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве ПФ могут использоваться неотрицательные функции разнообразного вида.

Производственная функция (ПФ) – зависимость между объемами затрачиваемых в производстве ресурсов и объемом выпускаемой продукции.

Термин «производство» в обычном сознании связан с товарами или услугами — материальными или нематериальными благами. Однако в экономической науке данный термин имеет более широкое понятие. Экономисты называют производство любой деятельностью по использованию природных ресурсов, включая ресурсы самого человека, для получения как материальных, так и нематериальных выгод. До настоящего времени между производством продуктов питания и информацией, информацией и энергетикой так много технологических различий, которые создают общую теорию производства. Из-за исторической традиции основную роль в таких теориях играет теория материального производства, которая понимается как процесс преобразования производственных ресурсов в производство продукта или услуг.

В экономической теории выделяются основные факторы производства, которые в соответствии с теорией создают новую ценность. К ним относятся трудовые, капитальные, земельные и предпринимательские способности. Вторичные факторы, напротив, не создают нового значения. В особенности, современном производстве роль энергии и информации возрастает, они характеризуются признаками первичных и вторичных факторов.

Производственная функция называется независимой переменной, которая принимает значения объемов потраченного или использованного ресурса, а зависимая переменная — значения выходных объемов.

Для производственных функций характерны следующие свойства:

1) Повышение объемов выпуска за счет одного производственного фактора всегда предельно (в одном цехе может работать ограниченное число рабочих).

2) Производственные факторы бывают взаимозаменяемыми (человеческие ресурсы заменяются машинными) и взаимодополняемыми (работники нуждаются в инструментах).

В самом общем виде производственная функция выглядит как:

Q = f (K, L, M, T, N)

где Q — объем произведенных товаров;

K — оборудование (капитал);

М — затраты на материалы и сырье;

Т — используемые технологии;

N — предпринимательские способности.

Но это не единственный вид функции производства, существует множество типов этой зависимости, которые учитывают влияние как одного, так и нескольких наиболее важных факторов.

Рассмотрим двухфакторную производственную функцию: пусть K — объем основных фондов в стоимостном выражении или в количественном, L – числовое выражение объема трудовых ресурсов, Y – объем выпущенной продукции в стоимостном выражении.

Тогда производственная функция имеет вид:

𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿)

Довольно часто для анализа этой модели используется изоквантная группа, то есть кривая, которая соединяет все возможные точки комбинаций факторов производства, которые позволяют выпускать определенный объем определенных товаров (рисунок 1).

«Двухфакторная модель вида Q = f (L; K)»

На оси X обычно отмечают затраты труда, а на оси Y – капитала. На одном и том же графике рисуют несколько изоквант, каждая из которых соответствует определенному объему продукции, при использовании конкретной технологии. В итоге получается карта изоквант с разными количествами изготавливаемых товаров.

Для изоквант характерны такие общие свойства, как:

1) чем дальше находится кривая от начала координат, тем выше объем выпускаемой продукции;

2) вогнутый и нисходящий вид изокванты связан с тем, что уменьшение использования капитала при стабильном объеме выпускаемых товаров вызывает рост затрат труда;

3) вогнутая форма кривой изокванты зависит от предельно допустимой нормы технологического замещения (то количество капитала, которое может заменить 1 дополнительная единица труда).

Одной из наиболее распространенных производственных функций является функция Кобба–Дугласа (рисунок 2). В 1928 г. математик Д. Кобб и экономист П. Дуглас определили, как влияет на объем выпускаемой продукции величины вложенного в производство труда и капитала. Было сделано предположение, что функция выглядит так:

𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐴𝐾𝛼𝐿𝛽

где A > 0 – константа, α, β ≥ 0, α + β = 1.

«Функция Кобба-Дугласа»

Функция Кобба-Дугласа может использоваться для любой конкретной фирмы.

После логарифмирования получена система уравнений:

𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝑙𝑛𝐴 + 𝛼 𝑙𝑛𝐾𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛𝐿𝑡

где Yt, Kt, Lt – фактические значения соответствующих величин в год t.

С помощью МНК находились значения A, α, β из условия минимизации:

∑(𝑙𝑛𝑌𝑡 − 𝑙𝑛𝐴 − 𝛼 𝑙𝑛𝐾𝑡 − 𝛽 𝑙𝑛𝐿𝑡)2 → 𝑚𝑖𝑛

В математической статистике эффективной статистической оценкой экономической величины называется характеристика оценки, достигающая некоторого экстремума, например, имеющая минимальную дисперсию, сумму модулей отклоний и т.д. В экономической теории и прикладных экономических исследованиях для оценки эффективности организации используются производственные функции разных типов. Традиционно учитываемые в них факторы производства подразделяются на следующие составляющие: трудовые ресурсы, или труд (Т); инвестиционные ресурсы, или капитал (К); природные ресурсы, или земля (З); предпринимательский талант, или предпринимательские способности (П); информация (И), специфической формой которой являются, например, управленческие и производственные технологии.

Категория «труд» описывает собой целесообразную деятельность человека по созданию экономических благ, накоплению потенциала производственных факторов, вложение в результат деятельности совокупности умственных и физических способностей коллектива людей, включая синергетический эффект их взаимодействия.

Капитал включает в себя совокупность созданных прошлым трудом человека благ и средств производства, в том числе акции, облигации, деньги, банковские депозиты.

Земля как фактор производства охватывает все сельскохозяйственные угодья и городские земли, которые отведены под жилищную или промышленную застройку, используются для развития инфраструктуры бизнеса (транспортные коммуникации, логистические площадки и пр.), а также совокупность природных условий, необходимых для производства товаров и услуг (полезные ископаемые, географическое положение, климатические условия).

Предпринимательский талант предполагает особые способности человека, заключающиеся в его умении организовывать производство и бизнес-деятельность путем соединения всех необходимых факторов производства.

Предприниматель принимает обоснованные решения по управлению производством и ведению бизнеса, рискует денежными средствами, временем, трудом, деловой репутацией.

Модель производственной функции можно задать в общей аналитической форме: функционально, описательно и таблично с минимальными ограничениями. Все допущения и ограничения на производственную функцию обусловлены экономическими законами и условиями.

Следующим важнейшим экономическим ресурсом на современном этапе развития общества является информация. Обладание достоверной информацией о рынке (спрос и предложение, конкуренты) является необходимым условием для решения стоящих перед экономическим субъектом проблем. Именно этот ресурс дает наибольшую отдачу в бизнесе.

В работе Н.С. Шишмаковой проводится сравнительный анализ применимости нескольких вариантов производственных функций для анализа экономики России в целом и ряда ее отраслей. Учитывая влияние цен на нефть на мировых рынках на динамику ВВП России, в производственную функцию вводится значение цены на нефть:

𝑌 = 𝐴𝐾𝛼𝐿𝛽𝑃𝛾𝑒𝜁 

где P – значение цены на нефть, γ – коэффициент, характеризующий степенную зависимость ВВП от мировых цен на нефть, ζ – коэффициент, характеризующий экспоненциальных временной тренд.

Среди выводов работы стоит выделить, то что введение временного тренда не является важным для модели с переменной отдачей, а также не стоит переоценивать влияние цен на нефть. Однако, производственная функция с постоянной отдачей (α + β=1) не применима для экономики России.

Модели формирования производственных функций для микроэкономических систем часто отражают не только производственные и трудовые факторы, описываемые в виде затратной функции, но и содержат еще один интегральный элемент – технологические функции производства.


Практический пример построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Функция Кобба–Дугласа (зависимость объёма производства от создающих его факторов производства – затрат труда и капитала) предполагает, что эти факторы могут дополнять друг друга и даже заменять.

Производственная функция Кобба-Дугласа строится на основе исходных статистических данных о динамике выпуска продукции и использованных производственных факторах (основного капитала и трудовых ресурсов).

Для начала выберем объект исследования (предприятие, фирму). На наш взгляд, наиболее подходящим вариантом является производственное предприятие. Поэтому выбираем СПК «Береговой».

В таблице 1. представлена динамика обобщенных экономических показателей деятельности СПК «Береговой» за 2015-2017 гг.

Таблица 1 – Основные экономические показатели деятельности  СПК «Береговой» за 2015-2017 гг.

Показатели 2015 г. 2016 г. 2017 г.
Выручка от продажи с/х продукции,  тыс. руб. 412030 345846 393250
Себестоимость с/х продукции,  тыс. руб. 356898 341249 374817
Прибыль от продаж, тыс. руб. 55132 4597 18433
Чистая прибыль, тыс. руб. 45052 441 6940
Дебиторская задолженность, тыс. руб. 34857 35463 33145
Кредиторская задолженность тыс. руб. 13493 21009 15051
Численность персонала, чел. 451 444 406
Среднегодовая стоимость основных средств, тыс. руб. 273060 264497 250645
Среднегодовая стоимость оборотных активов, тыс. руб. 274119 290857 297495
Средняя заработная плата, тыс. руб. 15,91 17,15 20,04
Площадь сельскохозяйственных угодий, га, всего, в т.ч. 5287 5287 5287
— пашня, га 4102 4102 5280
Урожайность зерновых, ц/га 24 26 28,3
Численность КРС, ед. 1936 1855 1860
Производительность труда, тыс. руб. / чел. 913,6 778,9 968,6
Фондоотдача, руб./руб. 0,66 0,76 0,64
Рентабельность продаж, % 13,38 1,33 4,69
Рентабельность продукции, % 15,45 1,35 4,92

Как было показано в таблице 1, у нас имеются данные по среднегодовой величине основного капитала и численности работников, а также объемам продажи (условно производства) сельскохозяйственной продукции, для этого используем программу MS Excel. Сразу стоит отметить, что т.к. данные имеются всего за 3 года, предшествующие периоды с 2003 по 2014 гг. вставим приблизительные данные (рисунок 3).

Первоначальные данные для построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Далее используем представленные формулы и производим согласно лекции расчетные операции (рисунок 4).

Расчетные итоги для построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Далее с помощью этой же программы формируем графически рисунок для сравнения фактических и расчетных значений (рисунок 5).

Сравнение фактических и расчетных данных

Построим производственную функцию графически (рисунок 6)

Производственная функция для СПК «Береговой»

Мы построили производственную функцию для 2015 и 2017 года, где показано, что рост капитала и рост количества работников является фактором роста объемов производства продукции.

В 2016 году, ситуация была обратная, в этот период по сравнению с 2017 годом на предприятии было больше работников, а также больше основных средств, но это не привело к высокому уровню объемов производства, из чего следует сделать вывод, что на объем производства влияют также другие факторы, особенно это может проявляться в сельском хозяйстве. К таким факторам можно отнести (климатические условия, урожайность, внесение удобрений и т.п.).


Видео-инструкция по построению производственной функции

Оставьте комментарий